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《The Arithmetic of Elliptic Curves by Silverman 2nd Edition》定义了isogeny同源性为曲线之间的映射，这些映射保持曲线的结构，使得它们在代数上相似。具体而言，isogeny是一个群作用，能够将椭圆曲线变换为另一种椭圆曲线，保持其优化形式和相关数论性质。
对于Curve25519，其Montgomery形式表示为： [ v^2 = u^3 + 486662u^2 + u ] 其中，( q = 2^{255} - 19 )。对应的Edwards曲线表示为： [ x^2 + y^2 = 1 + \frac{121665}{121666}x^2y^2 ] 两者之间的变换关系为： [ (x, y) ↦ (u, v): u = \frac{1 + y}{1 - y}, v = \frac{486664u}{x} ] 以及反向映射： [ (u, v) ↦ (x, y): x = \frac{486664u}{v}, y = \frac{u - 1}{u + 1} ] 因此，Montgomery曲线和Edwards曲线之间存在isogeny同源性。
Jacobi四次曲线的形式为： [ t^2 = es^4 + 2As^2 + 1 ] 当 ( e = a^2 ) 且 ( A = 2a - d ) 时，对应的形式变为： [ t^2 = a^2s^4 + 2(2a - d)s^2 + 1 ] Twisted Edwards曲线的形式为： [ ax^2 + y^2 = 1 + dx^2y^2 ] 两者之间的变换关系为： [ (s, t) ↦ (x, y): x = \frac{2s}{1 + as^2}, y = \frac{1 - as^2}{t} ] 以及反向映射： [ (x, y) ↦ (s, t): s = \frac{x}{y}, t = \frac{2 - y^2 - ax^2}{y^2} ] 因此，Jacobi四次曲线和Twisted Edwards曲线之间也存在isogeny同源性。
书中提供了以下群论基础概念的图表和解释：
这些概念在椭圆曲线同源性理论中是基础，用于描述和分类曲线变换。
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